Modelización de Volatilidad Asimétrica GARCH, Valor en Riesgo (VaR) y Expected Shortfall (CVaR) del Bitcoin en Python (2014–2026)

1. Línea Base: Parámetros de Referencia del Estudio Original en RStudio (Mayo 2020)

En mayo de 2020 se publicó en este portafolio la investigación Modelización de la Volatilidad Condicional y Valor en Riesgo (VaR) del Bitcoin, desarrollada en RStudio mediante los paquetes econométricos rugarch, rmgarch y PerformanceAnalytics. Aquel trabajo auditó la ventana histórica comprendida entre enero de 2014 y el 30 de enero de 2020 (N = 1,961 sesiones diarias), estimando especificaciones simétricas y asimétricas bajo tres leyes distribucionales para las innovaciones estandarizadas: Normal Gaussiana, t-Student y Distribución de Errores Generalizados (GED).

2. Auditoría Empírica de Transición de Régimen: De la Microestructura Retail a los ETFs Institucionales (2014–2026)

El análisis de la serie de retornos logarítmicos continuos en escala porcentual r_t = 100 × ln(P_t / P_t−1) entre septiembre de 2014 y octubre de 2026 permite identificar tres regímenes de volatilidad y liquidez gobernados por cambios en la composición de los participantes del mercado:

1. Régimen I — Microestructura Retail y Fragmentación de Liquidez (Septiembre 2014 – Enero 2020, N = 1,961 días): Etapa dominada por flujo minorista, ausencia de cámaras de compensación institucionales y amplios diferenciales bid-ask, registrando una volatilidad anualizada de 73.47% (σ_diaria = 3.845%) y un cuantil empírico al 1% de -10.58%.
2. Régimen II — Integración Macrofinanciera, Choque Pandémico y Ciclo Restrictivo Fed (Febrero 2020 – Enero 2024, N = 1,441 días): Fase de alta sensibilidad al factor de liquidez global y tasas reales de descuento, caracterizada por cascadas de liquidación en futuros perpetuos apalancados que elevaron la curtosis muestral hasta 25.55 y profundizaron la asimetría negativa hasta -1.595.
3. Régimen III — Institucionalización vía ETFs Spot y Arbitraje de Creadores de Mercado (Enero 2024 – Octubre 2026, N = 1,023 días): La incorporación de vehículos institucionales (BlackRock IBIT, Fidelity FBTC) y la intervención sistemática de Authorized Participants (APs) mediante arbitraje continuo entre la cesta Spot y el mercado secundario de ETFs comprimieron la volatilidad anualizada hasta 46.88% (σ_diaria = 2.454%), lo que representa una contracción estructural de -26.59 puntos porcentuales frente al Régimen I y de -21.09 puntos porcentuales respecto al Régimen II.

3. Especificación Econométrica: Modelos GARCH Asimétricos, Distribución Skewed Student-t de Hansen y Expected Shortfall (CVaR)

Sea r_t = 100 × ln(P_t / P_t−1) el retorno logarítmico continuo en la sesión t. Para filtrar la autocorrelación serial de primer orden inducida por fricciones de microestructura (rebote bid-ask y ejecución fraccionada de órdenes institucionales), el proceso generador de datos se descompone en una ecuación de media condicional autorregresiva AR(1) y una innovación heterocedástica multiplicativa:

donde σ_t² = Var(r_t ∣ ℱ_t−1) denota la varianza condicional respecto al conjunto de información disponible hasta el cierre previo ℱ_t−1 y z_t = ϵ_t / σ_t representa la innovación estandarizada con esperanza nula y varianza unitaria. A continuación se formulan las tres estructuras de varianza condicional que compiten en el torneo econométrico:

3.1. Especificación GARCH Simétrica Estándar — sGARCH(1,1) (Bollerslev, 1986)

Impone una respuesta cuadrática simétrica donde las perturbaciones positivas y negativas de igual magnitud generan idéntico incremento sobre la varianza condicional futura:

3.2. Especificación GARCH Exponencial Asimétrica — EGARCH(p,q) (Nelson, 1991)

Parametriza directamente el logaritmo natural de la varianza condicional ln(σ_t²), garantizando positividad estricta (σ_t² > 0) en todo el espacio paramétrico sin requerir restricciones de desigualdad sobre los coeficientes y capturando conjuntamente el efecto magnitud (α_i) y el efecto asimétrico direccional (γ₁):

3.3. Especificación GJR-GARCH con Umbral Indicador (Glosten, Jagannathan & Runkle, 1993)

Incorpora una función indicadora de Heaviside 𝕀_{{ϵt−1 < 0}} que toma valor unitario ante retornos inesperados negativos (cascadas de liquidación y ventas forzadas) y valor nulo ante sorpresas alcistas:

3.4. Densidad Skewed Student-t de Hansen (1994) para Colas Pesadas Asimétricas

Con el objetivo de modelar simultáneamente la leptocurtosis extrema y la asimetría distribucional de los residuos estandarizados z_t, el estimador de Máxima Verosimilitud se maximiza bajo la densidad Skewed Student-t de Hansen, gobernada por el parámetro de grados de libertad de cola 2 < η < ∞ y el parámetro de asimetría −1 < λ < 1:

donde las constantes normalizadoras a, b, c vienen definidas analíticamente por c = Γ((η+1)/2) / [√(π(η−2)) Γ(η/2)], a = 4λc((η−2)/(η−1)) y b² = 1 + 3λ² − a².

3.5. Valor en Riesgo Condicional (VaR) y Expected Shortfall (CVaR / ES) bajo Basilea III/IV

Conforme al estándar regulatorio Fundamental Review of the Trading Book (FRTB — Basilea III/IV), el Valor en Riesgo (VaR_α,t) al nivel de significancia α ∈ {0.05, 0.01} se complementa con el Expected Shortfall (CVaR_α,t), medida de riesgo coherente y subaditiva (Artzner et al., 1999) que cuantifica la esperanza matemática condicional de la pérdida dado que el retorno ha perforado el umbral del VaR_α,t:

4. Proceso Completo de Modelado e Implementación Reproducible en Python

La arquitectura econométrica y de ejecución cuantitativa se implementó en Python 3.11 empleando las librerías arch (Kevin Sheppard, Oxford Financial Econometrics), scipy.stats, statsmodels, pandas y numpy. El script íntegro de producción se encuentra disponible para descarga directa en models/garch_var_cvar_2026.py.

Paso 4.1. Ingesta de Datos, Escalado Porcentual para Estabilidad del Hessiano y Contrastes Preliminares

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
from scipy import stats
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox, het_arch

# 1. Descarga de serie diaria BTC-USD (Septiembre 2014 - Octubre 2026)
raw = yf.download("BTC-USD", start="2014-09-17", end="2026-10-30", auto_adjust=True, progress=False)
df = raw[["Open", "High", "Low", "Close", "Volume"]].dropna().copy()

# Retornos logarítmicos continuos en escala porcentual para condicionamiento óptimo del Hessiano MLE
df["Log_Return"] = np.log(df["Close"] / df["Close"].shift(1))
df["Pct_Return"] = df["Log_Return"] * 100.0
df = df.dropna()

# 2. Contrastes preliminares de raíz unitaria, normalidad y efecto ARCH sobre r_t (N = 4,425 días)
r = df["Pct_Return"]
adf_stat, adf_p, _, _, _, _ = adfuller(r, autolag="AIC")
jb_stat, jb_p = stats.jarque_bera(r)
arch_stat, arch_p, _, _ = het_arch(r, nlags=10)

print(f"Observaciones auditadas : {len(r)} sesiones diarias")
print(f"Test ADF Estacionariedad: Estadístico = {adf_stat:.4f} (p-valor = {adf_p:.4e})")
print(f"Test Jarque-Bera Normal : Estadístico = {jb_stat:.2f} (p-valor = {jb_p:.4e})")
print(f"Test ARCH-LM(10) Engle  : Estadístico = {arch_stat:.2f} (p-valor = {arch_p:.4e})")

Paso 4.2. Estimación por Máxima Verosimilitud (MLE) del Torneo GARCH Simétrico y Asimétrico

from arch import arch_model

# Especificación de las 5 familias competidoras con ecuación de media condicional AR(1)
specs = {
    "AR(1)-sGARCH(1,1)-Normal":   arch_model(r, mean="AR", lags=1, vol="Garch",  p=1, o=0, q=1, dist="normal"),
    "AR(1)-sGARCH(1,1)-Student":  arch_model(r, mean="AR", lags=1, vol="Garch",  p=1, o=0, q=1, dist="t"),
    "AR(1)-EGARCH(1,1)-Student":  arch_model(r, mean="AR", lags=1, vol="EGARCH", p=1, o=1, q=1, dist="t"),
    "AR(1)-EGARCH(2,1)-Skewed-t": arch_model(r, mean="AR", lags=1, vol="EGARCH", p=2, o=1, q=1, dist="skewt"),
    "AR(1)-GJR-GARCH-Skewed-t":   arch_model(r, mean="AR", lags=1, vol="Garch",  p=1, o=1, q=1, dist="skewt"),
}

fits = {}
for name, model in specs.items():
    res = model.fit(disp="off")
    fits[name] = res
    z = res.std_resid.dropna()
    lb_q2 = acorr_ljungbox(z ** 2, lags=[10], return_df=True)["lb_pvalue"].iloc[0]
    lm_p = het_arch(z, nlags=5)[1]
    print(f"{name:28s} | LogLik: {res.loglikelihood:9.2f} | AIC: {res.aic:8.2f} | BIC: {res.bic:8.2f} | Q2(10) p: {lb_q2:.4f} | ARCH-LM p: {lm_p:.4f}")

Paso 4.3. Cálculo Dinámico de VaR / Expected Shortfall (CVaR) y Contrastes de Kupiec y Christoffersen

def compute_var_cvar_and_backtest(returns_pct: pd.Series, fit_res, alpha: float = 0.01, is_normal: bool = False):
    # 1. Media condicional AR(1) y volatilidad condicional diaria sigma_t
    mu_t = fit_res.params["Const"] + fit_res.params["Pct_Return[1]"] * returns_pct.shift(1)
    sigma_t = fit_res.conditional_volatility
    z = fit_res.std_resid.dropna()

    # 2. Cuantil condicional (VaR) y esperanza condicional de cola (Expected Shortfall / CVaR)
    if is_normal:
        q_alpha = stats.norm.ppf(alpha)
        es_z = -stats.norm.pdf(q_alpha) / alpha
    else:
        q_alpha = float(np.percentile(z, alpha * 100.0))
        es_z = float(z[z <= q_alpha].mean())

    var_t = (mu_t + q_alpha * sigma_t).loc["2020-01-31":]
    cvar_t = (mu_t + es_z * sigma_t).loc["2020-01-31":]
    y_eval = returns_pct.loc["2020-01-31":]

    # 3. Secuencia de violaciones I_t = 1(r_t < VaR_t) en la ventana 2020-2026 (T = 2,464 sesiones)
    hits = (y_eval < var_t).astype(int).values
    T, N = len(hits), int(hits.sum())
    p_hat = N / T

    # Estadístico LR_uc de Kupiec (1995) ~ Chi2(1)
    lr_uc = -2.0 * ((T - N) * np.log(1 - alpha) + N * np.log(alpha) - ((T - N) * np.log(1 - p_hat) + N * np.log(p_hat)))
    p_uc = 1.0 - stats.chi2.cdf(lr_uc, df=1)

    # Estadístico LR_ind y LR_cc de Christoffersen (1998) ~ Chi2(2)
    h0, h1 = hits[:-1], hits[1:]
    n00, n01 = np.sum((h0 == 0) & (h1 == 0)), np.sum((h0 == 0) & (h1 == 1))
    n10, n11 = np.sum((h0 == 1) & (h1 == 0)), np.sum((h0 == 1) & (h1 == 1))
    pi0, pi1, pi = n01 / (n00 + n01), n11 / max(n10 + n11, 1), (n01 + n11) / (T - 1)
    ll_null = (n00 + n10) * np.log(1 - pi) + (n01 + n11) * np.log(pi)
    ll_alt = n00 * np.log(1 - pi0) + n01 * np.log(pi0) + n10 * np.log(max(1 - pi1, 1e-12)) + n11 * np.log(max(pi1, 1e-12))
    lr_ind = max(0.0, -2.0 * (ll_null - ll_alt))
    lr_cc = lr_uc + lr_ind
    p_cc = 1.0 - stats.chi2.cdf(lr_cc, df=2)

    return var_t, cvar_t, {"N": N, "T": T, "rate": p_hat * 100, "lr_uc": lr_uc, "p_uc": p_uc, "lr_cc": lr_cc, "p_cc": p_cc}

Paso 4.4. Motor de Ejecución Cuantitativa: Volatility Targeting, Position Sizing, Stop-Loss y Apalancamiento

def compute_trading_execution_signals(
    sigma_daily_pct: pd.Series,
    var_99_pct: pd.Series,
    cvar_99_pct: pd.Series,
    equity_usd: float = 1_000_000.0,
    target_vol_ann_pct: float = 20.0,
    max_tail_risk_budget_usd: float = 25_000.0,
    maint_margin: float = 0.005,
    safety_kappa: float = 3.0,
) -> pd.DataFrame:
    sigma_ann_pct = sigma_daily_pct * np.sqrt(365.0)
    cvar_dec = (cvar_99_pct.abs() / 100.0).clip(lower=1e-4)

    signals = pd.DataFrame(index=sigma_daily_pct.index)
    # 1. Ponderación óptima por Volatility Targeting: w_t = min(1.0, sigma_target / sigma_anual_t)
    signals["Weight_VolTarget"] = (target_vol_ann_pct / sigma_ann_pct).clip(upper=1.0)
    signals["Notional_VolTarget_USD"] = signals["Weight_VolTarget"] * equity_usd

    # 2. Exposición máxima permitida por Presupuesto de Riesgo de Cola (Expected Shortfall 99%)
    signals["Max_Notional_CVaR_Budget_USD"] = max_tail_risk_budget_usd / cvar_dec

    # 3. Stop-Loss dinámico condicional al 99% de confianza (filtrado de ruido estocástico)
    signals["Adaptive_StopLoss_99_Pct"] = var_99_pct

    # 4. Apalancamiento institucional máximo seguro en perpetuos/futuros sin riesgo de cascada
    signals["Max_Safe_Leverage_x"] = (1.0 - maint_margin) / (safety_kappa * cvar_dec)
    return signals

5. Laboratorio Visual Interactivo: Gráficos Dinámicos de Última Generación (2014–2026)

Las cinco visualizaciones interactivas que se presentan a continuación han sido compiladas directamente a partir de las series condicionales estimadas sobre las 4,425 observaciones diarias de BTC-USD (2014–2026). Utilice los selectores superiores de cada módulo y las herramientas de inspección de Plotly para evaluar regímenes de volatilidad, excedencias de Valor en Riesgo, asimetría en la curva de impacto de noticias y proyecciones estocásticas.

6. Interpretación Econométrica y Microestructural del Modelo Óptimo AR(1)-EGARCH(2,1) Skewed-t

La especificación que minimiza el Criterio de Información de Akaike (AIC = 21,553.06) y maximiza la función de Log-Verosimilitud (ℓ = −10,767.53) sobre las 4,425 sesiones de BTC-USD es el proceso AR(1)-EGARCH(2,1) con innovaciones Skewed Student-t de Hansen. En la Tabla 6.1 se reportan los nueve parámetros estimados por Cuasi-Máxima Verosimilitud (QMLE), junto con sus errores estándar asintóticos, estadísticos t, p-valores y su interpretación económica dentro de la microestructura del mercado de criptoactivos:

6.1. Lectura Económica de la Ecuación Estimada y Vida Media del Choque (Half-Life)

Sustituyendo los estimadores puntuales de Máxima Verosimilitud en la formulación AR(1)-EGARCH(2,1) de las Ecuaciones (3.1) y (3.3), el sistema dinámico que gobierna el retorno y el riesgo diario del Bitcoin queda completamente determinado por:

De esta parametrización se desprenden cuatro leyes empíricas fundamentales para la mesa de dinero y el gestor cuantitativo:

1. Reversión a la Media de Corto Plazo en Retornos (φ̂₁ = −0.0521, t = −40.25): El signo negativo y estadísticamente significativo del término autorregresivo indica que aproximadamente el 5.21% de cualquier impulso direccional diario se corrige en la sesión inmediata siguiente. En la microestructura de libros de órdenes electrónicos (Central Limit Order Books), este fenómeno obedece a la reposición de liquidez por parte de creadores de mercado (market makers) y a la toma táctica de beneficios tras barridos agresivos de liquidez.
2. Estructura de Impacto de Dos Rezagos (α̂₁ = +0.3696 vs. α̂₂ = −0.1580): A diferencia de un modelo EGARCH(1,1) convencional, la inclusión del segundo rezago captura una dinámica de sobrerreacción y amortiguamiento. Cuando ocurre un choque de magnitud superior a lo normal en t−1, la log-varianza se expande con una elasticidad de +0.3696; sin embargo, en la sesión t−2 opera un coeficiente corrector de −0.1580 que frena el crecimiento exponencial descontrolado de la volatilidad a medida que los participantes institucionales arbitran la dislocación inicial, dejando un efecto multiplicador neto de α̂₁ + α̂₂ = +0.2116.
3. Persistencia Autorregresiva (β̂₁ = 0.991357) y Cálculo de la Vida Media del Choque (Volatility Half-Life): Dado que |β̂₁| = 0.991357 < 1, el proceso log-varianza es estrictamente estacionario en covarianza y converge hacia una volatilidad incondicional de equilibrio. La velocidad de disipación de un choque de volatilidad se cuantifica mediante la Vida Media (Half-Life), definida como el número de sesiones bursátiles necesarias para que el exceso de log-varianza se reduzca exactamente al 50%:
   Half-Life = ln(0.5)ln(β̂₁) = −0.693147ln(0.991357) = −0.693147−0.008681 = 79.85 ≈ 79.9 sesiones diarias Ec. (6.1)
   En términos operativos, tras un evento de estrés macrofinanciero o desapalancamiento masivo en derivados, el mercado de Bitcoin requiere aproximadamente 80 días calendario (~2.6 meses) para absorber la mitad de la perturbación de volatilidad.
4. Índice de Cola de Hansen (η̂ = 2.7695) y Validación Diagnóstica de Residuos: El parámetro de forma η̂ = 2.770 (t = 21.22) demuestra estadísticamente el rechazo absoluto de la normalidad (η → ∞). Al situarse en el intervalo (2, 4), la distribución condicional posee varianza finita pero curtosis teórica divergente, asignando la masa de probabilidad exacta a eventos extremos de ±4σ a ±6σ. Finalmente, los contrastes diagnósticos sobre los residuos estandarizados ẑ_t = ϵ̂_t / σ̂_t confirman que el filtro EGARCH(2,1) absorbe satisfactoriamente la dependencia de segundo orden: el estadístico de Ljung-Box sobre residuos al cuadrado Q²(10) arroja un p-valor de 0.6924 y el contraste ARCH-LM(5) de Engle registra p = 0.2960, no rechazándose la hipótesis nula de homocedasticidad e independencia condicional.

7. Aplicaciones Operativas para el Inversor Institucional, Trading Cuantitativo y Gestión de Riesgo de Tesorería

Un modelo econométrico de volatilidad condicional no constituye un ejercicio meramente descriptivo; en la gestión cuantitativa de carteras y en las mesas de ejecución (Quantitative Trading Desks), las series diarias pronosticadas σ̂_t+1∣t, VaR_99%,t+1 y CVaR_99%,t+1 funcionan como insumos directos de control de capital, dimensionamiento de órdenes, calibración de niveles de invalidación (stop-loss) y arbitraje de derivados. A continuación se formalizan las cinco aplicaciones operativas del modelo tomando como referencia empírica el cierre del 29 de octubre de 2026 (σ̂_diaria = 1.863%, σ̂_anual = 35.59%, VaR_99% = −4.600% y CVaR_99% = −6.961%):

7.5. Arbitraje de Volatilidad con Opciones Financieras (EGARCH Bootstrap Cone vs. Volatilidad Implícita DVOL / IBIT)

El quinto uso estratégico para mesas de derivados consiste en contrastar la estructura temporal de volatilidad proyectada por el Cono Bootstrap a 90 días del modelo AR(1)-EGARCH(2,1) (Gráfico Dinámico 5) frente a la Volatilidad Implícita (σ_IV) cotizada en las cadenas de opciones sobre ETFs Spot (IBIT) y en el índice de volatilidad implícita a 30 días (Deribit DVOL):

• Estrategia Long Volatility / Compra de Convexidad (σ_IV < P₂₅(σ̂_EGARCH)): Cuando el mercado atraviesa una fase de compresión extrema (como el cierre actual de 35.59% anualizado, inferior al promedio del Régimen III de 46.88%) y la mediana del Cono Bootstrap proyecta una reversión gradual hacia 49.79% en 90 días, si las opciones cotizan con volatilidad implícita deprimida, el operador estructura posiciones Long Vega y Long Gamma (Long Straddles, Long Strangles o Calendar Spreads), adquiriendo convexidad barata antes de la expansión hacia la media estacionaria.
• Estrategia Short Volatility / Captura de Prima de Varianza (σ_IV > P₉₀(σ̂_EGARCH)): Inmediatamente después de un choque de liquidación donde la volatilidad condicional supera el percentil 90% del cono (>75%–90% anualizado), la propiedad de estacionariedad (β̂₁ = 0.9914, Half-Life = 79.9 días) y el término amortiguador α̂₂ = −0.1580 predicen una reversión sistemática de la varianza. En ese entorno, el gestor vende volatilidad sobrepreciada mediante estructuras de riesgo definido (Iron Condors, Credit Put Spreads o programas de Covered Calls sobre tenencias Spot), cosechando el Variance Risk Premium (VRP).

7.6. Matriz Operativa de Decisión Cuantitativa por Régimen de Volatilidad Condicional

En la Tabla 7.1 se sintetiza el protocolo parametrizado de actuación para un portafolio institucional de $1,000,000 USD (con objetivo de volatilidad σ_target = 20% anual y presupuesto diario de cola L_máx = $25,000 USD) en función del nivel de volatilidad condicional registrado por el filtro AR(1)-EGARCH(2,1) Skewed-t:

8. Torneo Econométrico MLE, Backtesting Regulatorio de Kupiec y Christoffersen y Síntesis

En la Tabla 8.1 se consolidan los resultados del torneo econométrico por Máxima Verosimilitud (MLE), los criterios de selección de información (AIC y BIC) y los contrastes de especificación sobre los residuos estandarizados para las cinco estructuras competitivas evaluadas sobre las 4,425 sesiones diarias (2014–2026):

Asimismo, en la Tabla 8.2 se detallan las pruebas de Backtesting Regulatorio de Valor en Riesgo (VaR_99%) y el requerimiento diario de reserva de liquidez bajo Expected Shortfall (CVaR_99%) para una posición institucional de $1,000,000.00 USD en la ventana posterior al estudio original (31 de enero de 2020 al 29 de octubre de 2026, T = 2,464 sesiones):